凸形能否有兩個(gè)等弦點(diǎn)

—— 李露萍

摘 要：“凸形能否有兩個(gè)等弦點(diǎn)”是幾何學(xué)歷史長(zhǎng)河中遺留下來的未解決的數(shù)學(xué)問題之一，為了探究這個(gè)問題，本文從不存在等弦點(diǎn)的正方形出發(fā)，再推廣到正多邊形上；再借助于單連通的連續(xù)且直到二階可導(dǎo)的上凸函數(shù)為工具，假設(shè)在至少存在一個(gè)等弦點(diǎn)且弦長(zhǎng)恒為的基礎(chǔ)上，通過對(duì)上凸函數(shù)關(guān)于等弦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的判斷，得出當(dāng)時(shí)，若，則對(duì)角函數(shù)隨著的不同而不同，故不存在等弦點(diǎn)；若時(shí)，并通過對(duì)二階導(dǎo)數(shù)的討論，得到相應(yīng)的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；對(duì)角函數(shù)；等弦點(diǎn)；一階導(dǎo)數(shù)；二階導(dǎo)數(shù)

Abstract："Convex can have two chord point＂is a geometric history left unsolved mathematical problems. To explore this issue, the paper never existed chord point square starting, and then extended to the regular polygon; and with the help of the simply connected continuous and convex function picture until the two order derivative as a tool. Assuming there is at least one chord point and chord length is constantbasis,by first order derivative corresponding function of convex function on the chord point of judgment, when the ,if , is diagonal function with is different, so there is no chord point. If the , and through the discussion of the two order derivative, corresponding conclusions are obtained.

Key words：Convex function；Diagonal function；Chord point；Derivative；Two order derivative

1 引言

組合幾何正式成為一門數(shù)學(xué)分支只有半個(gè)世紀(jì)的歷史，但是與組合幾何有關(guān)的問題卻可追溯到遙遠(yuǎn)的歷史深處。絕大多數(shù)需要解決的幾何問題都產(chǎn)生于實(shí)際要求，而“凸形能否有兩個(gè)等弦點(diǎn)”是幾何學(xué)歷史長(zhǎng)河中遺留下來的未解決的數(shù)學(xué)問題之一。對(duì)凸形問題的探究又離不開用凸函數(shù)來表達(dá)，而凸函數(shù)是一類具有顯著幾何特征的函數(shù)，在線性規(guī)劃、最優(yōu)控制、不等式等領(lǐng)域都有著非常重要的應(yīng)用。1905年丹麥數(shù)學(xué)家Jensen^[1]首次給出了凸（凹）函數(shù)的定義，開創(chuàng)了凸（凹）函數(shù)研究的先河。在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，對(duì)凸函數(shù)的研究各方面的討論都近乎完善，也得到了很多有用的結(jié)論，但是在對(duì)于凸形的邊界凸函數(shù)及等弦點(diǎn)的研究卻鮮有所聞。所以需要尋找探究凸形邊界函數(shù)及等弦點(diǎn)的相關(guān)問題。

本文將借助于單連通的連續(xù)且直到二次可導(dǎo)等條件下的凸函數(shù)^[2]~[7]來考慮特殊的凸形能否有兩個(gè)等弦點(diǎn)，從一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的角度，分析探究凸形能否有等弦點(diǎn)甚至是能否有兩個(gè)等弦點(diǎn)。

2 預(yù)備知識(shí)

為了進(jìn)一步探究“凸形能否有兩個(gè)等弦點(diǎn)”這個(gè)問題，我們需要回顧一下單連通、一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)的求法等的相關(guān)知識(shí)。

2.1 凸形

定義2.1^[8] 設(shè)集合，若對(duì)于 ，，有

，

則稱為凸集。

定義2.2^[8] 如果對(duì)于點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)、，線段上的點(diǎn)都屬于點(diǎn)集，那么成為凸集。

定義2.3^[8] 有界閉集，如果是凸集，就成為凸形。

2.2 等弦點(diǎn)

定義2.4^[8] 一個(gè)封閉凸平面曲線之內(nèi)的點(diǎn)，且經(jīng)過那個(gè)點(diǎn)的所有弦具有相同的長(zhǎng)度。例如，圓的圓心是這個(gè)圓的等弦點(diǎn)。

2.3 單連通

定義2.5^[9] 我們用 記復(fù)平面以及用 記復(fù)擴(kuò)充平面。一個(gè)連通開集 被稱為單連通區(qū)域。

2.4 參數(shù)方程表示函數(shù)的求導(dǎo)法

2.4.1 參數(shù)方程表示函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)^[10]

在解析幾何中，我們遇到過曲線的參數(shù)表示法，若為參數(shù)，那么

就代表平面上的一條曲線。設(shè)的反函數(shù)為，并且沒它滿足反函數(shù)的條件，于是把看做復(fù)合函數(shù)

。

并利用復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則，就有

，

這就是參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)方法。

當(dāng)參數(shù)給出時(shí)，就可得到在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的倒數(shù)的值。

例2.1 橢圓的參數(shù)方程是，求。

解 于是有

．

由此可知，當(dāng)時(shí)，，即在點(diǎn)橢圓有水平切線。

2.4.2 參數(shù)方程表示函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)^[10]

參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)的方法：

由前已知

，

那么

。

例2.2 設(shè)求二階導(dǎo)數(shù)

解 由例2.1可知：

，

。

3 證明

3.1 正多邊形

由凸形的概念可知，正多邊形是一種特殊的凸形，下面對(duì)正多邊形進(jìn)行討論，以正方形為例。

3.1.1 正方形

如圖3-1中，我們以邊長(zhǎng)為1的正方形為例，以正方形的底邊建立直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在等弦點(diǎn)，且弦長(zhǎng)恒為，則在一條直線邊上取一點(diǎn)的與等弦點(diǎn)的連線，取線段長(zhǎng)為，在該直線邊上再取異于的點(diǎn)，，····，由于過等弦點(diǎn)的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度相等，則易知通過該直線邊上的點(diǎn)得到的是一條曲線，這與正方形的性質(zhì)相矛盾，故命題假設(shè)存在等弦點(diǎn)不成立。

圖3-1

3.1.1 正多邊形

正多邊形的每條邊都是直線邊，而由正方形不存在等弦點(diǎn)的證明可知，若正多邊形存在等弦點(diǎn)，那么正多邊形的直線邊關(guān)于等弦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊則是曲線邊，這與正多邊形的性質(zhì)不符，所以正多邊形也不存在等弦點(diǎn)。

3.2 單連通的連續(xù)且直到二階可導(dǎo)的凸形

3.2.1 原理

假設(shè)該凸形至少存在一個(gè)等弦點(diǎn)，設(shè)為，再過點(diǎn)作坐標(biāo)軸作為軸建立直角坐標(biāo)系，該凸形的邊界函數(shù)在軸附近存在連續(xù)且直到二階可導(dǎo)的上凸函數(shù)，在此上凸函數(shù)上任取一點(diǎn)，通過作弦長(zhǎng)恒為的對(duì)角函數(shù)，若對(duì)于不同的取值的作出來的對(duì)角函數(shù)都相同，則可知這個(gè)上凸函數(shù)可能至少存在兩個(gè)等弦點(diǎn)；但反之，該種凸形就一定不存在兩個(gè)等弦點(diǎn)。

3.2.2 假設(shè)：

（1）單連通凸形的邊界函數(shù)是連續(xù)的，并且是直到二階可導(dǎo)的上凸函數(shù)；

（2）該上凸函至少存在一個(gè)等弦點(diǎn)，設(shè)為；

（3）弦長(zhǎng)恒為；

（4）其中，為常數(shù)，，是變量，取參數(shù)；

則對(duì)于邊界上凸函數(shù)關(guān)于等弦點(diǎn)的對(duì)角函數(shù)為：

由，是關(guān)于的參數(shù)函數(shù)，故令

，

其中由（2）可得：

···········（３）

將（3）式帶入（1）式可得：

，

所以

，

所以該對(duì)角函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為：

，

其中：

；

；

所以當(dāng)時(shí)，有 ：

；

；

；

若當(dāng)時(shí)，則對(duì)角函數(shù)隨著的取值的變化而不相同，故在

此種情況下，上凸函數(shù)不存在兩個(gè)等弦點(diǎn)；換句話說，即為等弦點(diǎn)到凸形邊界的連線段與凸形邊界的交點(diǎn)處的切線都不相垂直的凸形不存在兩個(gè)等弦點(diǎn)。

若當(dāng)時(shí)，則有：

；

又上凸函數(shù)的對(duì)角函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為：

，

其中：

；

；

；

；

則當(dāng)時(shí)，令

，

那么可得

；

；

；

；

則

；

即有

；

因?yàn)閷?duì)應(yīng)函數(shù)是由上凸函數(shù)所求的對(duì)角函數(shù)，故函數(shù)必定為下凸函數(shù)，即有：

，

即恒有

，

其中:

；

由上式可知，只有中有變量，其中，和均為常量，所以要想證明凸形是否存在兩個(gè)等弦點(diǎn)，即轉(zhuǎn)證為證明關(guān)于等弦點(diǎn)的對(duì)角函數(shù)在不同取值的時(shí)，仍是同一函數(shù)；從而轉(zhuǎn)為證明凸形的二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于的取值不同時(shí)，所得到的值任然相等即可，進(jìn)而到對(duì)對(duì)角函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性的判斷。

故上凸函數(shù)的對(duì)角函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)對(duì)有求導(dǎo)為：

；

又因?yàn)楹瘮?shù)是上凸函數(shù)，所以其二階導(dǎo)數(shù)恒有，則恒有

；

且又由題可知：

（即），，；

所以有

；

那么

；

因?yàn)槭巧贤购瘮?shù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，所以，，從而有，，則分子即為一個(gè)小于0的數(shù)加上一個(gè)大于0的數(shù)，不能直接判斷其分子的正負(fù)，就更不能判斷二階導(dǎo)數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)的判斷；即在此種情況下不能判斷凸形對(duì)應(yīng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)對(duì)的不同取值時(shí)值的變化情況，所以在此種條件下不能判斷該種凸形能否有兩個(gè)等弦點(diǎn)。

4 結(jié)論

由對(duì)正方形的是否含有等弦點(diǎn)的推導(dǎo)可知，正多邊形不存在等弦點(diǎn)；若考慮在至少存在一個(gè)等弦點(diǎn)的凸形中，對(duì)于邊界函數(shù)是單連通的連續(xù)的且直到二階可導(dǎo)的凸函數(shù)的凸形，若關(guān)于等弦點(diǎn)的對(duì)角函數(shù)在時(shí)的一階導(dǎo)數(shù)不等于0，那么這個(gè)凸函數(shù)關(guān)于等弦點(diǎn)的對(duì)角函數(shù)會(huì)隨著取值的變化而變化，故在此種情況下，該種凸形沒有兩個(gè)等弦點(diǎn)，也就是說，當(dāng)已知等弦點(diǎn)到邊界函數(shù)的連線段與該交點(diǎn)處的切線不相垂直時(shí)，凸形不存在兩個(gè)等弦點(diǎn)；若關(guān)于等弦點(diǎn)的對(duì)角函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于0，其二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于的導(dǎo)數(shù)在為

，

由條件可知分母，而分子中第一部分，第二部分，一個(gè)小于0的數(shù)加上一個(gè)大于0的數(shù)，不能判斷其大小，故無法判斷其二階導(dǎo)數(shù)在取值不同時(shí)的變化情況，所以在此種條件下不能判斷該種凸形能否有兩個(gè)等弦點(diǎn)。

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